斜率：量「變化多快」的尺
想像你在騎腳踏車上坡。坡「陡不陡」怎麼量？很簡單：每往前走 1 步，上升了多少。
數學上，一條直線的斜率 slope / gradient就是這個意思：
斜率 =
垂直變化量 Δy水平變化量 Δx
=
y₂ − y₁x₂ − x₁
Δ（唸作 delta）是希臘字母的 D，代表 Difference——「差多少」。斜率越大代表變化越快；負斜率代表往下走。
實驗一：直線的斜率
拖曳 A、B 兩點，觀察 Δx、Δy 和斜率怎麼變。
A、B 兩點都可以拖曳
試試看：
① 把 B 拉到 A 的左下方，斜率變成什麼符號？
② 把 B 拉到跟 A 一樣高，斜率是多少？
③ 沿著同一條直線移動 B，斜率會變嗎？
① 把 B 拉到 A 的左下方，斜率變成什麼符號？
② 把 B 拉到跟 A 一樣高，斜率是多少？
③ 沿著同一條直線移動 B，斜率會變嗎？
實驗二：曲線呢？— 平均變化率
直線每一段都一樣陡，但曲線不一樣：有的地方平緩、有的地方陡。 這條曲線是 y = x²。我們把 A、B 兩點放在曲線上，兩點連線的斜率，叫做這段的 平均變化率 average rate of change：
A 到 B 的平均變化率 =
f(b) − f(a)b − a
沿曲線拖曳 A、B
試試看：固定 A，把 B 慢慢拉近 A ⋯⋯ 兩點連線的斜率，會越來越接近曲線在 A 那一點的「陡度」。這個想法，就是下一課的主角！
重點整理
- 斜率 = Δy / Δx：水平每走 1 單位，垂直變化多少。它是「變化多快」的量尺。
- 直線處處一樣陡：斜率是固定的一個數。
- 曲線各處陡度不同：兩點連線的斜率只是那一段的平均變化率。
- 想知道曲線在某一點究竟多陡（瞬間變化率），就要讓兩點越靠越近——這是整個微分的起點。